Question

12．若（ax+2b）⁶的展开式中x²与x³的系数之比为3：4，其中a＞0，b≠0
（1）当a=1时，求（ax+2b）⁶的展开式中二项式系数最大的项；
（2）令$F（a，b）=\frac{{{b^3}+16}}{a}$，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用通项公式求得含x²的项和含x³的项，再根据展开式中x²与x³的系数之比为3：4，求得a=2b，再结合a=1求得展开式中二项式系数最大的项．
（2）利用导数求得F（b）的单调区间，再利用函数的单调性求得F（a，b）的最小值．

解答 解：（1）展开式中含x²的项为：240a²b⁴x²；展开式中含x³的项为：160a³b³x³，
结合题意可得：$\frac{{240{a^2}{b^4}}}{{160{a^3}{b^3}}}=\frac{3b}{2a}=\frac{3}{4}，a=2b$ 
当a=1时，（ax+2b）⁶的展开式中二项式系数最大的项为${T_4}=C_6^3{x^3}=20{x^3}$．
（2）由a=2b，$F（b）=\frac{{{b^3}+16}}{2b}=\frac{b^2}{2}+\frac{8}{b}$，∴${F^'}（b）=b-\frac{8}{b^2}$．
当b∈（0，2）时，F′（b）＜0； 当b∈（2，+∞）时，F′（b）＞0，
所以  $F（b）=\frac{{{b^3}+16}}{2b}=\frac{b^2}{2}+\frac{8}{b}$在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
得F（a，b）的最小值为F_min=F（2）=6，此时a=4，b=2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属于中档题．