Question

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx-x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，y_M），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，y_N）．则

yN

yM

的范围是（　　）

• A、（-∞，-1]∪[3，+∞）
• B、（-∞，-3]∪[1，+∞）
• C、[3，+∞）
• D、（-∞，-3]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：设出P的坐标，求导函数，可得曲线在点P处的切线l的方程，过点P作l的垂线的方程，令x-0，可得y_M=-a，y_N=alna-a+

a

lna

，进而可求

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

，利用基本不等式，即可求出

yN

yM

的范围．

解答：解：设P（a，alna-a），则
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲线在点P处的切线l的方程为y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得y_M=-a，
过点P作l的垂线的方程为y-alna+a=-

1

lna

（x-a），
令x=0，可得y_N=alna-a+

a

lna

，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

，
∵lna+

1

lna

≥2或lna+

1

lna

≤-2，
∴-（lna+

1

lna

）≤-2或-（lna+

1

lna

）≥2，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

的范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故选A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．