Question

函数f(x)=

(1-a2)x2+3(1-a)x+6

．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的定义域为[-2，1]，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）的定义域为R，只需（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0在R上恒成立，然后讨论二次项系数可求出所求；
（2）根据f（x）的定义域为[-2，1]可知（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0的解集为[-2，1]，则（1-a²）x²+3（1-a）x+6=0的两个根为-2，1，然后利用根与系数的关系解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，
∴（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0在R上恒成立
当a=1时，6≥0恒成立
当a=-1时，6x+6≥0在R上不恒成立，故舍去
当a≠±1时，

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2) ≤0

解得：-

5

11

≤a＜1
综上所述：-

5

11

≤a≤1
（2）∵f（x）的定义域为[-2，1]，
∴（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0的解集为[-2，1]，
即（1-a²）x²+3（1-a）x+6=0的两个根为-2，1
∴

-2+1=- 3(1-a) 1-a2 -2×1= 6 1-a2

解得a=2
故a的值为2．

点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系和恒成立问题，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．