Question

【题目】如图所示的多面体中，底面为正方形，为等边三角形，平面，，点是线段上除两端点外的一点.

（1）若点为线段的中点，证明：平面；

（2）若二面角的余弦值为，试通过计算说明点的位置.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）为线段的中点，详见解析

【解析】

（1）通过证明，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角相关探索问题.

（1）因为是等边三角形，点为线段的中点，

故

因为，

且，故平面

又平面，

故

又，

故平面.

取的中点，以所在直线为轴，过点作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则

故

设

故

又

故，

设为平面的法向量，

则

故

令，故

故为平面的一个法向量.

由可知，为平面的一个法向量，

故，

即，令

则

，

解得，经检验知，

此时点为线段的中点