Question

已知a是正整数，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，4），B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）求证：此抛物线的最低点的纵坐标不超过-

17

8

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线过点A，B，代入即可求a的最小值；
（Ⅱ）根据二次函数的图象和性质进行证明．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，4），B（2，1），
∴

a-b+c=4 4a+2b+c=1

，
解得

b=-a-1 c=3-2a

，
又抛物线与x轴有两个不同的交点，
则△=b²-4ac=（-a-1）²-4a（3-4a）=9a²-10a+1＞0，
解得a＞1或a＜

1

4

，
∵a是正整数，∴a＞1，
∴a的最小值为2．
（Ⅱ）抛物线的顶点的纵坐标y=

4ac-b2

4a

=

4a(3-2a)-(-a-1)2

4a

=-

1

4

(9a+

1

a

)+

10

4

，
∵当a＞1时，函数y=-

1

4

(9a+

1

a

)+

10

4

单调递减，
∴当a=2时，ymax=-

17

8

．
即结论成立．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数的相关性质和结论．