Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B（其中A、B是常数，n∈N^*）．
（1）求A、B的值；
（2）求证数列{

an

n

+

1

n

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）已知k是正整数，不等式8a_n+1-a_n²＜k对n∈N^*都成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先根据已知条件a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B，取n=1和n=2，代入 得

2S1-2a1=A+B 2S2-3a2=2A+B

，即可求得

A=-1 B=1

（2）首先将（1）求得的结果代入得2S_n-（n+1）a_n=-n+1（n∈N^*），则有2S_n+1-（n+2）a_n+1=-n，两式相差即可得na_n+1-（n+1）a_n=1，两边同除以n（n+1），可得出

an

n

+

1

n

=2，进而得出通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）．
（3）首先将（2）得出的公式代入8a_n+1-a_n²＜k，可得k＞-4(n-

5

2

)2+32，进而得出k的最小值为32．

解答：解：（1）∵a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B（n∈N^*），
分别取n=1和n=2，得

2S1-2a1=A+B 2S2-3a2=2A+B

，
即

A+B=0 2A+B=-1

，解得

A=-1 B=1

．（4分）

（2）由（1）知，2S_n-（n+1）a_n=-n+1（n∈N^*），
∴2S_n+1-（n+2）a_n+1=-n．，得2a_n+1-（n+2）a_n+1+（n+1）a_n=-1，即na_n+1-（n+1）a_n=1．
两边同除以n（n+1），可化为

an+1

n+1

-

an

n

=

1

n(n+1)

?(

an+1

n+1

+

1

n+1

)-(

an

n

+

1

n

)=0．
数列{

an

n

+

1

n

}是以(

a1

1

+

1

1

)为首项，公差为零的等差数列，于是

an

n

+

1

n

=2．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）．（10分）

（3）由（2）知，a_n=2n-1（n∈N^*）．又8a_n+1-a_n²＜k，
即8（2n+1）-（2n-1）²＜k，进一步可化为k＞-4(n-

5

2

)2+32．
当n=2或3时，-4(n-

5

2

)2+32的最大值为31，
因此，只要k＞31即满足要求，又k是正整数，
故所求k的最小值为32．（16分）

点评：此题主要利用数列的递推公式进行相关的应用及计算，属于中档题．