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已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),且θ∈[0,
π
3
].
(1)若|
a
+
b
|=1,试求θ的值;
(2)求
a
b
|
a
+
b
|
的最值.
分析:(1)利用两个向量的数量积公式求出
a
b
的值,再由 |
a
b
|
2
=1求出cosθ=
1
2
,再由θ的范围求出θ的值.
(2)化简
a
b
|
a
+
b
|
为cosθ-
1
2cosθ
,令 t=cosθ,则有
1
2
≤t≤1,利用导数判断函数 (t-
1
2t
) 在[
1
2
,1]上是增函数,由此求得函数的最值.
解答:解:(1)由题意可得
a
b
=cos
2
cos
θ
2
+sin
2
(-sin
θ
2
)=cos(
2
+
θ
2
)=cos2θ,
|
a
b
|
2
=
a
2
+
b
+
a
b
=2+2cos2θ=4cos2θ=1,∴cosθ=
1
2

再由θ∈[0,
π
3
]可得 θ=
π
3

(2)∵
a
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ 
2cosθ
=cosθ-
1
2cosθ
,令 t=cosθ,则有
1
2
≤t≤1,∴(t-
1
2t
)′=1+
1
2t2
>0,
∴(t-
1
2t
) 在[
1
2
,1]上是增函数,故当t=
1
2
时,(t-
1
2t
) 取得最小值为-
1
2
,当t=1时,(t-
1
2t
) 取得最大值为
1
2
点评:本题主要考查两个向量的数量积公式的应用,根据三角函数的值求角,利用导数研究函数的单调性,求函数的最值,属于中档题.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),且θ∈[0,
π
3
].求
a
b
|
a
+
b
|
的最值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
)
,且θ∈[0,
π
3
]

(I)求
a
b
|
a
+
b
|
的最值;
(II)是否存在k的值使|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•合肥二模)已知f(x)是偶函数,当.x∈[0,
π
2
]时,f(x)=xsinx,若a=f(cos1),b=f(cos2),c=f(cos3),则 a,b,c 的大小关系为(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),且θ∈[0,
π
3
].求
a
b
|
a
+
b
|
的最值.

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