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已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
)
,且θ∈[0,
π
3
]

(I)求
a
b
|
a
+
b
|
的最值;
(II)是否存在k的值使|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|
分析:(I)由数量积的定义可得
a
b
|
a
+
b
|
=cosθ-
1
2cosθ
,下面换元后由函数的最值可得;
(II)假设存在k的值满足题设,即|k
a
+
b
|
2
=3|
a
-k
b
|
2
,然后由三角函数的值域解关于k的不等式组可得k的范围.
解答:解:(I)由已知得:
a
b
=cos
2
cos
θ
2
-sin
2
sin
θ
2
=cos2θ

|
a
+
b
|
=
a2
+2
a
b
+
b2
=2cosθ
a
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=cosθ-
1
2cosθ

cosθ=t,t∈[
1
2
,1]

∴cosθ-
1
2cosθ
=t-
1
2t
,(t-
1
2t
)′=1+
1
2t2
>0
∴t-
1
2t
为增函数,其最大值为
1
2
,最小值为-
1
2

a
+
b
|
a
+
b
|
的最大值为
1
2
,最小值为-
1
2

(II)假设存在k的值满足题设,即|k
a
+
b
|
2
=3|
a
-k
b
|
2

|
a
|=|
b
|=1
a
b
=cos2θ
     
∴cos2θ=
1+k2
4k
      
θ∈[0,
π
3
]
,∴-
1
2
≤cos2θ≤1                                
∴-
1
2
1+k2
4k
≤1

∴0<k≤2+
3

故存在k的值使|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|
点评:本题为向量的综合应用,涉及向量的模长和导数法求最值,属中档题.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),且θ∈[0,
π
3
].求
a
b
|
a
+
b
|
的最值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),且θ∈[0,
π
3
].
(1)若|
a
+
b
|=1,试求θ的值;
(2)求
a
b
|
a
+
b
|
的最值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•合肥二模)已知f(x)是偶函数,当.x∈[0,
π
2
]时,f(x)=xsinx,若a=f(cos1),b=f(cos2),c=f(cos3),则 a,b,c 的大小关系为(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),且θ∈[0,
π
3
].求
a
b
|
a
+
b
|
的最值.

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