Question

如图，设抛物线方程为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。
（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（2）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明：由题意设

由得，则
所以
因此直线MA的方程为直线MB的方程为

所以    ①；    ②
由①-②得，而，因此
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
（2）解：由（1）知，当x₀=2时，
将其代入①、②并整理得：　
　　　　　所以　x₁、x₂是方程的两根，
因此 又 所以
由弦长公式得：
　　　　 又，所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为或
（3）解：设，由题意得
则CD的中点坐标为
　设直线AB的方程为
　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，
　代入得
　若在抛物线上，则
　因此　x₃=0或x₃=2x₀.即D(0，0)或
（1）当x₀=0时，则，此时，点M适合题意.
（2）当，对于D(0，0)，此时
　　又AB⊥CD，所以
即矛盾.
对于因为此时直线CD平行于y轴，又
所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的M点.
综上所述，仅存在一点M适合题意.

略