Question

投资生产某种产品，并用广告方式促销，已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入16万元，又知年销量W（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为W=k-

1

x

（x＞0），且已知投入广告费1万元时，年销量为2万件产品．预计此种产品年销售收入M（万元）等于年成本（万元）（年成本中不含广告费用）的150%与年广告费用（万元）的50%的和．
（1）试将年利润y（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费为多少万元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？

Answer 1

分析：（1）由已知中年销量W（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为W=k-

1

x

（x＞0），投入广告费1万元时，年销量为2万件产品，代入可以求出k值，进而得到W的表达式，进而求出结合年销售收入，结合年成本为10+16w+x，根据利润=收入-成本，即可得到年利润y（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）根据（1）中得到的函数解析式，根据基本不等式，易得到年广告费为多少万元时，年利润最大及对应的最大年利润是多少万元．

解答：解：（1）∵W=k-

1

x

 （x＞0），且投入广告费1万元时，年销量为2万件产品∴k=3，∴W=3-

1

x

 …（2分）
年销售收入M=

3

2

(10+16w)+

1

2

x，年成本为10+16w+x 

∴y= 3 2 (10+16w)+ 1 2 x-[(10+16w)+x]   = 1 2 (10+16w-x)

 …（4分）
∴y=

1

2

[58-(

16

x

+x)] …（8分）
（2）y=

1

2

[58-(

16

x

+x)]≤

1

2

(58-2

16 x •x

)=25，…（12分）
当且仅当

16

x

=x，即x=4时，等号成立…（14分）
所以当x=4时，y_max=25 …（15分）
答：当年广告费为4万元时，年利润最大，最大年利润是25万元．…（16分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中根据已知条件分别计算年销售收入的表达式工，及年成本的表达式，进而根据利润=收入-成本，得到年利润的表达式是解答本题的关键．