Question

若=，=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（+）•+k．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x时，f（x）的最大值是，求f（x）的解析式，并说明如何由y=sinx的图象变换得到y=f（x）的图象．

Answer 1

【答案】分析：利用向量的数量积，化简函数的表达式，通过二倍角、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期与函数f（x）的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，得到关系式，求出ω的取值范围；
（2）通过周期求出ω，通过函数的最大值，求出x的值，然后确定k的值．利用函数图象平移的原则：左加右减，上加下减由函数y=sinx的图象变换得到函数y=f（x）的图象．
解答：解：∵=（cosωx，sinωx），=（sinωx，0），
∴+=（cosωx+sinωx，sinωx）．
故f（x）=（+）•+k=sinωxcosωx+sin²ωx+k
=sin2ωx++k=sin2ωx-cos2ωx++k
=sin（2ωx-）+k+．
（1）由题意可知=≥，∴ω≤1．
又ω＞0，∴0＜ω≤1．
（2）∵T==π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-）+k+．
∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]．
从而当2x-=，即x=时，f（x）_max=f（）=sin+k+=k+1=，
∴k=-．故f（x）=sin（2x-）．
由函数y=sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数y=sin（x-）的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-）的图象．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简、公式的应用、周期的求法、最值的应用及函数图象的变换，还考查发现问题解决问题的能力、计算能力，是常考题型．