Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

解：（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）na_n=n•2ⁿ，S_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①2S_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②有-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）
分析：（1）将a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，化简为（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，得出2a_n=a_n+1，数列{a_n}是公比为2的等比数列．
（2）利用错位相消法求和即可．
点评：本题主要考查等比数列的判定，性质和数列的求和．对于一些特殊数列的求和可利用错位相减法、裂项法等方法来解决．