Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n+1）4${\;}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{4{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，然后验证首项；
（2）利用1的结论得到数列{b_n} 通项公式，根据公式特点分别利用错位相减法和裂项求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=s₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$-$\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$
因为a₁=1也适合上式，因此，数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{n+1}{2}$；      …（5分）
（2）由（1）知，a_n=$\frac{n+1}{2}$，
故b_n=（n+1）4${\;}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{4{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（n+1）4${\;}^{\frac{n+1}{2}}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=（n+1）2ⁿ⁺¹-（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
记A=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹，
2A=2×2³+3×2⁴+…n×2ⁿ⁺¹+（n+1）2ⁿ⁺²，
两式相减得到-A=2×2²+2³+2⁴+…2ⁿ⁺¹-（n+1）2ⁿ⁺²=-n2ⁿ⁺²，所以A=n2ⁿ⁺²，
B=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n=$n×{2}^{n+2}+\frac{n}{2（n+2）}$．…（12分）

点评 本题考查了数列的通项公式的求法以及利用裂项相消法和错位相减法对数列求和；注意掌握两种求和的通项特征；属于中档题．