Question

 （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆的离心率；(2)椭圆的方程为 。

【解析】(1)由椭圆的方程知a=1,再根据,转化为,再结合,从而可得c,进而得到e.

(II) 圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上,所以通过解FC的垂直平分线和BC的垂直平分线方程组成的方程组得到圆心P的坐标，再根据P点在直线m+n=0上，从而可建立关于b,c的方程.根据a=1，解出b,c的值，求出椭圆方程.

解：（1）由椭圆的方程知，∴点，，

设的坐标为，………………1分

∵FC是的直径，

∴

∵  ∴ --------------------2分

∴，----------------------------------------3分

解得 --------------------------------------5分

∴椭圆的离心率--------------------6分

(2)∵过点F,B,C三点，

∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，

FC的垂直平分线方程为--------①

-----------7分

∵BC的中点为，

∴BC的垂直平分线方程为-----②

---------9分

由①②得，

即                       -----11分

∵P在直线上，∴  

∵  ∴          -----------------13分

由得

∴椭圆的方程为      ---------------------14分