Question

【题目】设f(x)为定义在R上的奇函数．如图是函数图象的一部分，当0≤x≤2时，是线段OA；当x＞2时，图象是顶点为P(3，4)的抛物线的一部分．

(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；

(2)求函数f(x)在[2，＋∞)上的解析式；

(3)写出函数f(x)的单调区间．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）f(x)＝－2(x－3)2＋4；（3）f(x)的单调递减区间为(－∞，－3]和[3，＋∞)，单调递增区间为[－3，3].

【解析】试题分析：

（1）利用奇函数关于原点对称可得图象；

（2）y=f（x）的图象时顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，利用抛物线的顶点式写出其解析式即可．

（3）由（1）中函数图象可知函数的单调区间．

试题解析：

(1)图象如图所示．

(2)当x≥2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4(a≠0)．

因为f(x)的图象过点A(2，2)，

所以f(2)＝a(2－3)2＋4＝2所以a＝－2.

所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.

(3)由f(x)的图象知，f(x)的单调递减区间为(－∞，－3]和[3，＋∞)，单调递增区间为[－3，3]．