[题目]已知椭圆为参数), 是上的动点.且满足为坐标原点).以原点为极点. 轴的正半轴为极轴建立坐标系.点的极坐标为.(1)求线段的中点的轨迹的普通方程,(2)利用椭圆的极坐标方程证明为定值.并求面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆为参数）, 是上的动点，且满足为坐标原点)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，点的极坐标为.

（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；

（2）利用椭圆的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.

【答案】（1）（2）最大值.

【解析】试题分析：（1）将的极坐标转化为平面直角坐标，由椭圆的参数方程，可设点的坐标，利用中点坐标得出点坐标，消去参数可得轨迹的普通方程；（2）将椭圆的普通方程化为极坐标方程，可设两点的极坐标，由题中所给，可得结论．

试题解析：（1）点的直角坐标为，由题意可设点的坐标为参数，

则线段的中点的坐标为，

所以点的轨迹的参数方程为为参数）

消去可得的普通方程为.

（2）椭圆的普通方程为，化为极坐标方程得，

变形得，

由，不妨设，所以

（定值），

易知当时，取得最大值.

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	优秀	非优秀	总计
男生	40	20	60
女生	20	30	50
总计	60	50	110

（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；

（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望．

附:＝

	0．500	0．400	0．100	0．010	0．001
	0．455	0．708	2．706	6．635	10．828

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(2)求函数f(x)在[2，＋∞)上的解析式；

(3)写出函数f(x)的单调区间．

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（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？

（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量的分布列及数学期望．

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