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(2003•北京)有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图).
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和最小,则P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,则P应位于何处?
分析:(I)设出P的坐标,表示出P至三镇距离的平方和,利用配方法,可得结论;
(II)记h=
a2-b2
,表示出P至三镇的最远距离,分类讨论,确定函数的单调性,从而可得结论.
解答:解:(Ⅰ)由题设条件a>b>0,设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为f(y)=2(b2+y2)+(
a2-b2
-y)2
=3y2-2
a2-b2
y+a2+b2

所以,当y=
a2-b2
3
时,函数f(y)取得最小值.
答:点P的坐标是(0,
a2-b2
3
)

(Ⅱ)记h=
a2-b2

P至三镇的最远距离为g(x)=
b2+y2
,当
b2+y2
≥|h-y|
|h-y|,当
b2+y2
<|h-y|.

b2+y2
≥|h-y|
解得y≥
h2-b2
2h
,记y*=
h2-b2
2h

于是g(x)=
b2+y2
,当y≥y*
|h-y|,当y<y*.

y*=
h2-b2
2h
≥0
,即h≥b时,
因为
b2+y2
在[y*,+∞)上是增函数,而|h-y|在(-∞,y*]上是减函数.
所以y=y*时,函数g(y)取得最小值.点P的坐标是(0,
h2-b2
2h
)

y*=
h2-b2
2h
<0
,即h<b时,因为
b2+y2
在[y*,+∞)上当y=0函数g(y)取得最小值b,而|h-y|在(-∞,y*]上是减函数,且|h-y|>b,所以y=0时,函数g(y)取得最小值.
答:当h≥b时,点P的坐标是(0,
h2-b2
2h
)
;当h<b时,点P的坐标是(0,0),其中h=
a2-b2
点评:本小题主要考查函数,不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
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1,第i号同学同意第j号同学当选.
0,第i号同学不同意第j号同学当选.
其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为(  )

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(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处?
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(2003•北京)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判断函数g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否满足题设条件;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2003•北京)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件,①f(-1)=f(1)=0,②对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)证明:对任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得
|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
,1]
;若存在请举一例,若不存在,请说明理由.

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