Question

（2003•北京）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

分析：（I）设P的坐标为（0，y），表示出P至三镇距离的平方和，利用配方法，即可得到建立；
（II）P至三镇的最远距离为g(x)=

25+y2 ，当 25+y2 ≥|12-y| |12-y|，当 25+y2 ＜|12-y|.

解法一：确定函数的单调性，即可求最值，从而可得点P的坐标；
解法二：作出函数的图象，结合图象，可得结论；
解法三：结合图形，分类讨论，确定点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．

解答：解：（Ⅰ）设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y²）+（12-y）²=3（y-4）²+146．
所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值．
答：点P的坐标是（0，4）．
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g(x)=

25+y2 ，当 25+y2 ≥|12-y| |12-y|，当 25+y2 ＜|12-y|.

由

25+y2

≥|12-y|解得y≥

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，记y*=

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，于是g(x)=

25+y2 ，当y≥y* |12-y|，当y＜y*.

因为

25+y2

在[y^*，+∞）上是增函数，而|12-y|在（-∞，y^*]上是减函数．
所以y=y^*时，函数g（y）取得最小值．
答：点P的坐标是(0，

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)；
解法二：P至三镇的最远距离为 g(x)=

25+y2 ，当 25+y2 ≥|12-y| |12-y|，当 25+y2 ＜|12-y|.

由

25+y2

≥|12-y|解得y≥

119

24

，记y*=

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24

，于是g(x)=

25+y2 ，当y≥y* |12-y|，当y＜y*.

函数x=g（y）的图象如图（a），
因此，当y=y^*时，函数g（y）取得最小值．
答：点P的坐标是(0，

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)；
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，

AC2-OC2

=12＞5=OC，∠ACB=

π

4

，如图(b)．
所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为(0，

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)，且AM=BM=CM．
当P在射线MA上，记P为P₁；
当P在射线MA的反向延长线上，记P为P₂，这时P到A、B、C三点的最远距离为P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．
答：点P的坐标是(0，

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)；

点评：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．