Question

【题目】已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x0 ， 使x0∈[ ， ]且f（x0）≤g（x0）成立，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb
∴h′（x）=lnx+1﹣lnb
由h′（x）＞0得x＞ ，
∴h（x）在（0， ）上单调递减，（ ，+∞）上单调递增．
2）由 ＜ 得 ＜7
（i）当 ≤ ≤ ，即 ≤ ≤ 时，
h（x）min=h（ ）=﹣ +a
由﹣ +a≤0得 ≥e，
∴e≤ ≤
（ii）当 ＜ 时，a＞
∴h（x）在[ ， ]上单调递增．
h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a≥ （ln ﹣lnb）+a= ＞ = b＞0
∴不成立
（iii）当 ＞ ，即 ＞ 时，a＜ b
h（x）在[ ， ]上单调递减．
h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a＜ （ln lnb）+a= ＜ = ＜0
∴当 ＞ 时恒成立
综上所述，e≤ ＜7

【解析】（I）根据已知求出h（x）=f（x）﹣g（x）的解析式，求出其导函数，分别求出导函数为正，为负时x的取值范围，进而可得h（x）的单调区间；（Ⅱ）根据区间的定义可得 ＜ ，由f（x0）≤g（x0），结合（I）中函数的单调性，分类讨论，最后综合讨论结果，可得 的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．