Question

【题目】（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；
（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2 ，
则|2x+3y| ，
∴﹣ ≤2x+3y≤ ．
（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，
由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2
得证：18≥（2a﹣b﹣c）2 ， 所以
【解析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2 ， 即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2 ， 即可证明结论．
【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．