Question

【题目】已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足
（Ⅰ）求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求证： ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵满足 ，
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
由（1）﹣（2）得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0（an＞0）
则an﹣an﹣1=4，∴{an}是以4为公差的等差数列．an=4n﹣2．
（Ⅱ）证明：

设 ，则f（n+1）﹣f（n）＜0
所以，{f（n）}递减，
即： ．
【解析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）通过放缩，利用数列的单调性即可证明．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．