Question

如图，在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁A＝AC，D、E、F分别为线段AC、A₁A、C₁B的中点．

(1)证明：EF∥平面ABC；
(2)证明：C₁E⊥平面BDE.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

证明：(1)取BC的中点G，连结AG、FG.
因为F为C₁B的中点，所以FG∥=C₁C.
在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁A∥=C₁C，且E为A₁A的中点，所以FG∥=EA.
所以四边形AEFG是平行四边形.所以EF∥AG.
因为EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因为在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，BD平面ABC，所以A₁A⊥BD.
因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.
因为A₁A∩AC＝A，A₁A平面A₁ACC₁，AC平面A₁ACC₁，所以BD⊥平面A₁ACC₁.
因为C₁E平面A₁ACC₁，所以BD⊥C₁E.
根据题意，可得EB＝C₁E＝AB，C₁B＝AB，
所以EB²＋C₁E²＝C₁B².从而∠C₁EB＝90°，即C₁E⊥EB.
因为BD∩EB＝B，BD平面BDE,EB平面BDE，所以C₁E⊥平面BDE.