Question

如图，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A₁B＝2.

(1)求棱AA₁与BC所成的角的大小；
(2)在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P－AB－A₁的平面角的余弦值为.

Answer 1

（1）（2）P(1，3，2)

(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A₁(0，2，2)，B₁(0，4，2)，＝(0，2，2)，＝＝(2，－2，0)．cos〈，〉＝＝＝－，故AA₁与棱BC所成的角是.
(2)P为棱B₁C₁中点，设＝λ＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．
设平面PAB的法向量为n₁＝(x，y，z)，＝(2λ，4－2λ，2)，
则故n₁＝(1，0，－λ)，
而平面ABA₁的法向量是n₂＝(1，0，0)，则cos〈n₁，n₂〉＝＝＝，解得λ＝，即P为棱B₁C₁中点，其坐标为P(1，3，2)．