Question

【题目】已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆的右顶点，作一条平行于的直线交椭圆于、两点，记直线和直线的斜率分别为、，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值为.

【解析】

（1）由椭圆的对称性知，点、在椭圆上，再说明点不在椭圆上，将点、的坐标代入椭圆方程，可得出、的值，可求得椭圆的方程；

（2）计算出直线的斜率为，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得为定值，进而可得出结论.

（1）由于、两点关于轴对称，故由题设知椭圆经过、两点.

又由知，椭圆不经过点，所以点在椭圆上.

因此，解得，故椭圆的方程为；

（2），，，故设直线的方程为，

设点、，由可得，

，得且，

由韦达定理得，

所以（定值）.