Question

14．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=e^x+x²+1，则函数h（x）=2f（x）-g（x）在点（0，h（0））处的切线方程是x-y+4=0．

Answer 1

分析 由题意可得f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），将已知条件中的方程的x换为-x，解方程可得f（x），g（x）的解析式，求得h（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程．

解答 解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
可得f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
由f（x）-g（x）=e^x+x²+1，
可得f（-x）-g（-x）=e^-x+x²+1，
即为f（x）+g（x）=e^-x+x²+1，
解得$f（x）=\frac{{{e^x}+{e^{-x}}+2{x^2}+2}}{2}$，$g（x）=\frac{{{e^{-x}}-{e^x}}}{2}$，
即有h（x）=2f（x）-g（x）=${e^x}+{e^{-x}}+2{x^2}+2-\frac{{{e^{-x}}-{e^x}}}{2}$
=$\frac{3}{2}{e^x}+\frac{1}{2}{e^{-x}}+2{x^2}+2$，
可得导数为$h'（x）=\frac{3}{2}{e^x}+\frac{1}{2}{e^{-x}}•（-1）+4x$，
即有在点（0，h（0））处的切线斜率为$h'（0）=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$，
切点为（0，4），
则所求切线方程是x-y+4=0．
故答案为：x-y+4=0．

点评 本题主要考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义，同时考查函数的解析式的求法，注意运用奇偶函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．