Question

4．已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，第二象限的点P，Q在双曲线的某条渐近线上，且$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，若△MPQ为等边三角形，则下列结论正确的有①②（写出所有正确结论的序号）
①双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；
②双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
③双曲线的顶点为（±2，0）；
④双曲线的焦点为（±3，0）

Answer 1

分析 设双曲线的一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，P的坐标为（m，-$\frac{b}{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，运用等边三角形的高为底边的$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简整理，可得a，b的关系式，即可得到所求双曲线的渐近线的方程，双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线的一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，P的坐标为（m，-$\frac{b}{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得：Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），
P，Q的中点为H（2m，-$\frac{2bm}{a}$），M（-a，0），
由MH⊥PQ，可得$\frac{-\frac{2bm}{a}}{2m+a}$=$\frac{a}{b}$，
解得m=-$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，
可得|PQ|=$\sqrt{4{m}^{2}+\frac{4{b}^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由等边三角形MPQ可得，
|MH|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PQ|，
即有$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．故①正确，
∵b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴c²=a²+b²=a²+$\frac{3}{4}$a²=$\frac{7}{4}$a²，
则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{4}$，
则e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，故②正确，
双曲线的顶点坐标和焦点坐标不确定，故③④错误，
故答案为：①②

点评 本题考查命题的真假判断，涉及双曲线的渐近线方程的求法，离心率的计算，考查向量共线的坐标表示，以及点到直线的距离公式和两直线垂直的条件，以及化简整理的运算能力，综合性较强，有一定的难度．