Question

9．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BCD=60°，AC=$\sqrt{7}$，CD=2，BD=2AD，则AD=$\sqrt{3}$或1．

Answer 1

分析 设AD=x，则BD=2x，AB=3x，先在△ACD中利用余弦定理求出cosA，再在△ABC中使用余弦定理计算BC²，最后在△BCD中使用余弦定理列方程解出x．

解答 解：设AD=x，则BD=2x，AB=3x．
在△ACD中，由余弦定理得cosA=$\frac{A{C}^{2}+A{D}^{2}-C{D}^{2}}{2AC•AD}$=$\frac{{x}^{2}+3}{2\sqrt{7}x}$．
在△ABC中，由余弦定理得BC²=AC²+AB²=2AC•AB•cosA=7+9x²-2$•\sqrt{7}•3x•\frac{{x}^{2}+3}{2\sqrt{7}x}$=6x²-2．
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{2{x}^{2}+2}{4\sqrt{6{x}^{2}-2}}$，解得x=1或x=$\sqrt{3}$．
故答案为：1或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．