Question

19．如图，AB是△ABC外接圆O的直径，四边形DCBE为矩形，且DC⊥平面ABC，AB=4，BE=1．
（1）证明：直线BC⊥平面ACD；
（2）当三棱锥E-ABC的体积最大时，求异面直线CO与DE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意推导出DC⊥BC，AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACD．
（2）连接CO，设点C到AB的距离为h，由${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•BE$，得到当h=2，即CO⊥AB时，三棱锥E-ABC的体积最大，由此能求出当三棱锥E-ABC的体积最大时，异面直线CO与DE所成角的大小．

解答 （文）（本题满分14分） 本题共2个小题，第1小题（6分），第2小题（8分）．
证明：（1）由题意，得：DC⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，
∴DC⊥BC，
又∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，…（3分）
于是由BC⊥DC，BC⊥AC，DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACD．…（6分）
解：（2）连接CO，设点C到AB的距离为h，
则${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•BE$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AB•h$=$\frac{2}{3}•h$，…（8分）
故当h=2，即CO⊥AB时，三棱锥E-ABC的体积最大．…（10分）
由DE∥BC得，∠BCO为异面直线CO与DE的所成角．…（12分）
而在△BCO中，CO⊥AB，CO=OB=2 故∠BCO=$\frac{π}{4}$，
∴异面直线CO与DE所成角的大小为$\frac{π}{4}$．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．