Question

10．已知数列{a_n}，S_n是其前n项的和且满足3a_n=2S_n+n（n∈N^*），则S_n=$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4}$．

Answer 1

分析 3a_n=2S_n+n（n∈N^*），n=1时，3a₁=2a₁+1，解得a₁．n≥2时，可得：3a_n-3a_n-1=2a_n+1，化为a_n=3a_n-1+1，变形为：a_n$+\frac{1}{2}$=3（a_n-1+$\frac{1}{2}$），利用等比数列的通项公式可得a_n，进而得出S_n．

解答 解：∵3a_n=2S_n+n（n∈N^*），
∴n=1时，3a₁=2a₁+1，解得a₁=1．
n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+（n-1），可得：3a_n-3a_n-1=2a_n+1，
化为a_n=3a_n-1+1，变形为：a_n$+\frac{1}{2}$=3（a_n-1+$\frac{1}{2}$），
∴数列$\{{a}_{n}+\frac{1}{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为3．
∴a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$×3^n-1，即a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$．
∴$3×\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$=2S_n+n，解得S_n=$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4}$．
故答案为：$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．