已知点P是直线l:y=x+2与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y2=1的一个公共点.F1.F2分别为该椭圆的左右焦点.设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及离心率,(Ⅱ)已知A.B为椭圆C上关于y轴对称的两点.Q是椭圆C上异于A.B的任意一点.直线QA.QB分别与y轴交于点M.试判断mn是否为定值,如果为定值.求出该定值,如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．已知点P是直线l：y=x+2与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的一个公共点，F₁，F₂分别为该椭圆的左右焦点，设|PF₁|+|PF₂|取得最小值时椭圆为C．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）已知A，B为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．

分析（Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a²+1）x²+4a²x+3a²=0，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已知条件能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），Q（x₀，y₀），且M（0，m），N（0，n），由已知求出m=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，由此能求出mn为定值1．

解答解：（Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a²+1）x²+4a²x+3a²=0，
∵直线y=x+2与椭圆有公共点，
∴△=16a⁴-4（a²+1）×3a²≥0，解得a²≥3，∴a$≥\sqrt{3}$，
又由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|=2a，
故当a=$\sqrt{3}$时，|PF₁|+|PF₂|取得最小值，
此时椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），Q（x₀，y₀），且M（0，m），N（0，n），
∵k_QA=k_QM，∴$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}$，
即${y}_{0}-m=\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
∴m=${y}_{0}-\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
同理，得n=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴mn=$\frac{{x}_{0}y-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+{{y}_{1}}^{2}=1$，
∴${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$，${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$，
∴mn=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}）-{{x}_{1}}^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}）}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=1，
∴mn为定值1．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查两实数值的乘积是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆方程的性质的合理运用．

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C	4小时	0小时	16小时
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