Question

5．设变量x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}}$，则z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 解：设m=2x-y，作出不等式组对应的平面区域，要求z的最小值，则等价为求m的最大值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
设m=2x-y，要求z的最小值，则等价为求m的最大值．
由m=2x-y，得y=2x-m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=2x-m，由平移可知当直线y=2x-m，
经过点C时，直线y=2x-m的截距最小，此时z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，得C（1，0），
代入m=2x-y，得m=2×1-0=2，
即目标函数z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值z=（$\frac{1}{2}$）^-2=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的应用，利用换元法进行转化求解是解决本题的关键．