Question

10．已知函数f（x）=-x²+4x+a（a＞0）的图象与直线x=0，x=3及y=x所围成的平面图形的面积不小于$\frac{21}{2}$，则曲线g（x）=ax-4ln（ax+1）在点（1，g（1））处的切线斜率的最小值为-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 当x∈[0，3]时，y=f（x）的图象在直线y=x的上方，则围成的平面图形的面积为${∫}_{0}^{3}$（-x²+3x+a）dx，运用定积分运算可得$\frac{9}{2}$+3a，再由条件可得a的范围，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+$\frac{4}{t}$-5，求出导数，判断单调性可得最小值．

解答 解：当x∈[0，3]时，f（x）-x=-x²+3x+a＞0，即有y=f（x）的图象在直线y=x的上方，
则围成的平面图形的面积为${∫}_{0}^{3}$（-x²+3x+a）dx=（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{3}{2}$x²+ax）|${\;}_{0}^{3}$=$\frac{9}{2}$+3a，
由题意可得$\frac{9}{2}$+3a≥$\frac{21}{2}$，解得a≥2．
g（x）=ax-4ln（ax+1）的导数为g′（x）=a-$\frac{4a}{ax+1}$，
可得在点（1，g（1））处的切线斜率为a-$\frac{4a}{a+1}$=（a+1）+$\frac{4}{a+1}$-5，
令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+$\frac{4}{t}$-5，
h′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$＞0，可得h（t）在[3，+∞）递增，
即有h（t）≥h（3）=3+$\frac{4}{3}$-5=-$\frac{2}{3}$，
则当a=2时，取得最小值-$\frac{2}{3}$．
故答案为：-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查定积分的运用：求面积，考查化简整理的运算能力，属于中档题．