Question

1．已知等差数列{a_n}的首项a₁和公差d（d≠0）均为整数，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）若a₁=1，且a₂，a₄，a₉成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*，且n≠6时，都有S_n＜S₆，求a₁的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列的性质，求公差d；
（Ⅱ）n≠5时，恒有S_n＜S₅，可得S₅最大且有d＜0，结合a₁，d∈Z求a₁的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因为a₂，a₄，a₉ 成等比数列，所以${a_4}^2={a_2}•{a_9}$．
将a₁=1 代入得（1+3d）²=（1+d）•（1+8d），
解得d=0 或d=3．
因为数列{a_n} 为公差不为零的等差数列，
所以d=3．
数列{a_n} 的通项公式a_n=1+（n-1）•3=3n-2．
（Ⅱ）因为对任意n∈N^*，n≠6 时，都有S_n＜S₆，所以S₆ 最大，
则$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}＜{S}_{6}}\\{{S}_{7}＜{S}_{6}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{6}＞0}\\{{a}_{7}＜0}\end{array}\right.$ 则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d＞0}\\{{a}_{1}+6d＜0}\end{array}\right.$，
因此-5d＜a₁＜-6d．
因为a₁，d∈Z，d＜0，
故当d=-1时，5＜a₁＜6，此时a₁ 不满足题意．
当d=-2时，10＜a₁＜12，则a₁=11，
当d=-3时，15＜a₁＜18，a₁=16，17，
易知d≤-3 时，a₁≥16，则a₁ 的最小值为11．

点评 本题考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．