Question

16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{21}$，b=5，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，化简已知可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜180°，即可得解A的值；
（Ⅱ）由已知及余弦定理即可得解c的值，要注意检验．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosC+$\frac{1}{2}$c=b，可得：sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，…（2分）
化简可得：sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，…（4分）
解得：cosA=$\frac{1}{2}$，…（6分）
因为：0＜A＜180°，
所以：A=60°…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理可得：21=25+c²-5c，即c²-5c+4=0，…（10分）
解得：c=1或c=4，…（12分）
经检验，符合条件，
所以c的值是1或4．…（13分）

点评 本题注意考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．