Question

4．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜a＜b）的右支上存在一点，它到右焦点及到直线x=-$\frac{a^2}{c}，（{{c^2}={a^2}+{b^2}}）$的距离相等，则离心率e的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\sqrt{2}}）$
• B． $（{1，\sqrt{2}+1}]$
• C． $（{\sqrt{2}，\sqrt{2}+1}]$
• D． $[{\sqrt{2}+1，+∞}）$

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得 PF′-PF=2a，以及双曲线的第二定义得PF=$\frac{2a}{e-1}$=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$≥c-a，建立a，c的关系进行求解即可．

解答 解：设双曲线的右焦点F （c，0），左焦点F′（-c，0 ），
由双曲线的定义可得 PF′-PF=2a，以及圆锥曲线的第二定义得 $\frac{PF′}{PF}$=e，
∴ePF-PF=2a，
∴PF=$\frac{2a}{e-1}$=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$≥c-a，
∴$\frac{c}{a}$≤$\sqrt{2}$+1．
再由 e＞1，∴1＜e≤$\sqrt{2}$+1，
故选  B．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的第二定义是解决本题的关键．综合性较强．