Question

12．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x．
（I）求函数f（x）的单调区间及极值；
（Ⅱ）对?x≥1，f（x）≤kx，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由切线的方程可得a，b的方程，解方程可得f（x）的解析式，求出导数，解不等式可得单调区间和极值；
（2）对?x≥1，f（x）≤kx，即为$\frac{1}{x}$+2lnx≤kx，即k≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$对x≥1恒成立．设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$，求出导数，设h（x）=x-1-xlnx（x≥1），求出导数，可得单调性，求得最大值，即可得到k的范围．

解答 解：（I）函数f（x）=$\frac{a}{x}$+blnx的导数为f′（x）=$\frac{b}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为b-a，切点为（1，a），
由切线的方程y=x可得，b-a=1，a=1，
解得a=1，b=2，即有f（x）=$\frac{1}{x}$+2lnx，
可得f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
当x＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）的增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（0，$\frac{1}{2}$）；
f（x）的极小值为f（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2，无极大值；
（2）对?x≥1，f（x）≤kx，即为
$\frac{1}{x}$+2lnx≤kx，即k≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$对x≥1恒成立．
设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$，可得g′（x）=$\frac{2（x-1-xlnx）}{{x}^{3}}$，
设h（x）=x-1-xlnx（x≥1），即有h′（x）=1-（1+lnx）=-lnx≤0，
可得h（x）在[1，+∞）递减，可得h（x）≤h（1）=0，
即g′（x）≤0，可得g（x）在[1，+∞）递减，可得g（x）在x=1处取得最大值1，
即有k≥1．即有k的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次求导，考查化简整理的运算能力，属于中档题．