Question

20．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，g（x）=ln（x²+1）．
（Ⅰ）若在x=0处y=f（x）和y=g（x）图象的切线平行，求a的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）-a，x≤a}\\{g（x）-a，x＞a}\end{array}\right.$，讨论函数h（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x），g（x）的导数，由题意可得f′（0）=g′（0），解方程可得a；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式，讨论①a＜0时，②a=0时，③a＞0时，判断函数的单调性，运用零点存在定理，即可得到零点个数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
g（x）=ln（x²+1）的导数为g′（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，
由题意可得f′（0）=g′（0），即为1-a=0，解得a=1；
（Ⅱ）h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{a}{{e}^{x}}-a，x≤a}\\{ln（1+{x}^{2}）-a，x＞a}\end{array}\right.$，
①a＜0时，f′（x）=1-ae^-x＞0，f（x）在（-∞，a）递增，
f（a）=$\frac{a}{{e}^{a}}$＜a＜0，g（x）=ln（x²+1）＞0＞a，故a＜0时，h（x）无零点；
②a=0时，h（x）有唯一的零点x=0；
③a＞0时，设l（a）=lna-a+1，l′（a）=$\frac{1}{a}$-1=$\frac{1-a}{a}$，
由l′（a）＞0，可得0＜a＜1，故l（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
即l（a）≤l（1）=0，即lna≤a-1，
f′（x）=1-ae-x=0，x=lna≤a-1＜a，f（x）在（-∞，lna）递减，
在（lna，a）递增，可得f（x）_min=f（lna）=lna+1≤a（当且仅当a=1时等号成立），
f（a）=a+$\frac{a}{{e}^{a}}$＞a，
则f（x）=a有两个根（a=1只有一个根x=lna=0），
g（x）=ln（1+x²）在（a，+∞）递增，令m（a）=g（a）-a=ln（1+a²）-a，
m′（a）=$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$-1≤0，m（a）为减函数，可得m（a）＜m（0）=0，ln（1+a²）＜a，
可得g（x）=a只有一个根，可得0＜a＜1时，h（x）有3个零点；
a=1有2个零点；a＞1有3个零点，
综上可得，a＜0时h（x）无零点；a=0时，h（x）有1个零点；
0＜a＜1时，h（x）有3个零点；a=1时，h（x）有2个零点；a＞1时，h（x）有3个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查函数零点个数的判断，注意运用分类讨论和函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于难题．