Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{-x-1，x≤0}\\{\;}\end{array}\right.$，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-3y在D上的最大值为3．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义求在（1，0）处的切线方程，然后根据线性规划，平移可得z=x-3y在D上的最大值．

解答 解：当x＞0时，函数的导数为f'（x）=$\frac{1}{x}$，
所以在点（1，0）处的切线斜率k=f'（1）=1，
所以切线方程为y=x-1，
D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的
封闭区域，如右图阴影部分．
z=x-3y可变形成y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$z，
当直线y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$z过点A（0，-1）时，截距最小，此时z最大，
故最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查导数的几何意义，以及线性规划的应用：求最值，综合性较强，考查学生解决问题的能力，属于中档题．