Question

17．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若a=-2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）求出f（x）的导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意x＞0的条件．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx+2x的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+2，
曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1+2=3，切点为（1，2），
可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-2=3（x-1），
即为3x-y-1=0；
（2）函数f（x）=lnx-ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，x＞0，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
当a＞0时，当x＞$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减；
当0＜x＜$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增．
综上可得，当a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{a}$），减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．