Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．
（1）求△OAB与△OBC的面积之比；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式，计算即可得到所求值；
（2）由等腰三角形的定义和平行线的性质，结合诱导公式可得sin∠BAD=sinC，运用余弦定理和同角的平方关系，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）BD为∠ABC的平分线，
由角平分线定理知：$\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{2}$，
即有$\frac{{{S_{△OAB}}}}{{{S_{△OBC}}}}=\frac{OA}{OC}=\frac{3}{2}$；                                             
（2）由AD∥BC且AB=AC，
可得∠ABC=∠ACB=∠CAD，
即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC，
在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，
可得$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2•AC•BC}=\frac{1}{3}$，
即有sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故sin∠BAD的值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查角平分线定理和余弦定理的运用，同时考查三角函数的诱导公式及同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．