Question

18．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{{{log}_2}x}|，0＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2≤x≤6}\end{array}}$若存在互不相等的实数x₁，x₂，x₃，x₄满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则x₁•x₂•x₃•x₄的取值范围是（12，15）．

Answer 1

分析 画出分段函数的图象，求得（2，1），（6，1），令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，作出直线y=a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x₁x₂=1，x₃+x₄=8，再由二次函数在（2，3）递增，即可得到所求范围．

解答 解：画出函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{{{log}_2}x}|，0＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2≤x≤6}\end{array}}$的图象，

令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，
作出直线y=a，
由x=2时，f（2）=-cosπ=1；x=6时，f（6）=-cos3π=1．
由图象可得，当0＜a＜1时，直线和曲线y=f（x）有四个交点．
由图象可得0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜3，5＜x₄＜6，
则|log₂x₁|=|log₂x₂|，即为-log₂x₁=log₂x₂，可得x₁x₂=1，
由y=-cos（x）的图象关于直线x=4对称，可得x₃+x₄=8，
则x₁•x₂•x₃•x₄=x₃（8-x₃）=-（x₃-4）²+16在（2，3）递增，
即有x₁•x₂•x₃•x₄∈（12，15）．
故答案为：（12，15）．

点评 本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．