Question

8．已知函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，记数列$\{\frac{1}{f（n）}\}$的前n项和为S_n，则S₂₀₁₆的值为$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a=-1，求出$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：函数f（x）=x²-ax的导数为f′（x）=2x-a，
可得函数f（x）图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
由切线l与直线x+3y-1=0垂直，可得2-a=3，解得a=-1，
即有f（x）=x²+x=x（x+1），
故$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
则${S_{2016}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$=$1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．