Question

13．已知函数g（x）=2alnx+x²-2x，a∈R．
（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x₀，y₀）为线段AB的中点．
（i）当a=0时，g（x）在点Q（x₀，g（x₀））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；
（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x₀，g（x₀））处的切线与直线AB平行？说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x-x²对x＞0恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到a的范围；
（2）（i）a=0时，求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合中点坐标公式，即可得到结论；
（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x₀，g（x₀））处的切线与直线AB平行．由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，设t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，求出导数，判断单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）函数g（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）的导数为g′（x）=$\frac{2a}{x}$+2x-2=$\frac{2（{x}^{2}-x+a）}{x}$，
若函数g（x）在定义域上为单调增函数，可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，
即为a≥x-x²对x＞0恒成立，
由h（x）=x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，当x=$\frac{1}{2}$时，h（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
则a≥$\frac{1}{4}$；
（2）（i）a=0时，g（x）=x²-2x，g′（x）=2x-2，
g′（x₀）=2x₀-2，
设A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂）），（0＜x₁＜x₂），
可得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
k_AB=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{（{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}）-（{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}-2）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂-2=2x₀-2，
则g（x）在点Q（x₀，g（x₀））处的切线与直线AB平行；
（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，
使得g（x）在点Q（x₀，g（x₀））处的切线与直线AB平行．
可得g′（x₀）=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
即$\frac{2a}{{x}_{0}}$+2x₀-2=$\frac{（2aln{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}）-（2aln{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
由x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，可得$\frac{2a}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$+x₁+x₂-2=$\frac{2aln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+x₁+x₂-2，
即ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，设t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1），
记函数h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
则h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$≥0，
可得h（t）在（0，1）递增，
可得当0＜t＜1时，h（t）＜h（1）=0，
即方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在区间（0，1）上无解，
故不存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x₀，g（x₀））处的切线与直线AB平行．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查化简整理和构造函数的能力，属于难题．