Question

19．已知（$\sqrt{2}$+1）²¹=a+b$\sqrt{2}$，其中a和b为正整数，则b与27的最大公约数是1．

Answer 1

分析 （$\sqrt{2}$+1）²¹的展开式的通项公式为：T_r+1=${∁}_{21}^{r}$$（\sqrt{2}）^{r}$，（r∈N，0≤r≤21）．当r为奇数时，b$\sqrt{2}$=${∁}_{21}^{1}×\sqrt{2}$+${∁}_{21}^{3}（\sqrt{2}）^{3}$+…${∁}_{21}^{21}（\sqrt{2}）^{21}$=$\sqrt{2}$$（{∁}_{21}^{1}+2{∁}_{21}^{3}+…+{2}^{10}{∁}_{21}^{21}）$，可得b=${∁}_{21}^{1}$+2${∁}_{21}^{3}$+…+${2}^{10}{∁}_{21}^{21}$=1025×21+514×${∁}_{21}^{3}$+264${∁}_{21}^{5}$+144${∁}_{21}^{7}$+96×${∁}_{21}^{11}$，即可得出．

解答 解：∵（$\sqrt{2}$+1）²¹的展开式的通项公式为：T_r+1=${∁}_{21}^{r}$$（\sqrt{2}）^{r}$，（r∈N，0≤r≤21）．
当r为奇数时，b$\sqrt{2}$=${∁}_{21}^{1}×\sqrt{2}$+${∁}_{21}^{3}（\sqrt{2}）^{3}$+…${∁}_{21}^{21}（\sqrt{2}）^{21}$=$\sqrt{2}$$（{∁}_{21}^{1}+2{∁}_{21}^{3}+…+{2}^{10}{∁}_{21}^{21}）$，
∴b=${∁}_{21}^{1}$+2${∁}_{21}^{3}$+…+${2}^{10}{∁}_{21}^{21}$=1025×21+514×${∁}_{21}^{3}$+264${∁}_{21}^{5}$+144${∁}_{21}^{7}$+96×${∁}_{21}^{11}$与3互质，
∴b与27的最大公约数是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了二项式定理的应用、互质的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．