Question

9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．
（1）若（a-sinB）cosC=cosBsinC，且c=1，求∠C的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{1}{4}$a²，求$\frac{（b+c）^{2}}{2bc}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数和诱导公式化简，结合正弦定理和同角的商数关系，即可求得C；
（2）由已知及三角形面积公式可得a²=2bcsinA，又由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，从而可得b²+c²=2bc（sinA+cosA），从而所求化为$\frac{（b+c）^{2}}{2bc}$=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）+1，由A∈（0，π），可得A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），利用正弦函数的图象和性质即可求得其范围．

解答 解：（1）由已知可得：cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
即有sinBcosC+cosBsinC=acosC，
即sin（B+C）=acosC，
即sinA=acosC．
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{cosC}$，
由于c=1，则sinC=cosC，
即tanC=1，C是三角形内角，
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）∵△ABC的面积为$\frac{1}{4}$a²=$\frac{1}{2}$bcsinA，可得：a²=2bcsinA，
又∵由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，可得：b²+c²=2bccosA+a²=2bccosA+2bcsinA=2bc（sinA+cosA），
∴$\frac{（b+c）^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}+2bc}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$+1=sinA+cosA+1=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）+1，
∵A∈（0，π），A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（A+$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\frac{（b+c）^{2}}{2bc}$=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）+1∈（0，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，三角形的最值以及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．