Question

1．若${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx=a，则（1-x）³（1-$\frac{a}{x}$）³展开式中的常数项是20．

Answer 1

分析 求定积分得到a值，代入（1-x）³（1-$\frac{a}{x}$）³，展开两数差的立方公式后即可求得答案．

解答 解：由${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx=$lnx{|}_{1}^{e}=1=a$，得a=1，
∴（1-x）³（1-$\frac{a}{x}$）³ =（1-x）³（1-$\frac{1}{x}$）³ =$（1-3x+3{x}^{2}-{x}^{3}）（1-\frac{3}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}）$，
∴（1-x）³（1-$\frac{a}{x}$）³展开式中的常数项是1+9+9+1=20．
故答案为：20．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查定积分的求法，训练了两数差的立方公式的应用，是基础题．