Question

11．如图所示，扇形AOB中，圆心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）当OC=$\frac{2}{3}$时，求线段PC的长；
（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得∠OCP=$\frac{2π}{3}$，OP=2，OC=$\frac{2}{3}$，利用余弦定理即可得9PC²+6PC-32=0，从而解得PC的值．
（2）由CP∥OP可求∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ，由正弦定理可求CP=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinθ$，OC=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{π}{3}-θ）$，记△POC得面积为S（θ），则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S（θ）=$\frac{1}{2}$CP•OC•$sin\frac{2π}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）△POC中，∠OCP=$\frac{2π}{3}$，OP=2，OC=$\frac{2}{3}$，
由OP²=OC²+PC²-2OC•PCcos$\frac{2π}{3}$，…（2分）
∴9PC²+6PC-32=0，…（4分）
解得：PC=$\frac{\sqrt{33}-1}{3}$，…6分
（2）∵CP∥OP，∴∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ，
在△POC中，由正弦定理得$\frac{OP}{sin∠PCO}=\frac{CP}{sinθ}$，即$\frac{2}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{CP}{sinθ}$．∴CP=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinθ$，…（8分）
又$\frac{OC}{{sin（\frac{π}{3}-θ）}}=\frac{OP}{{sin\frac{2π}{3}}}$，∴OC=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{π}{3}-θ）$，…（10分）
记△POC得面积为S（θ），则
S（θ）=$\frac{1}{2}$CP•OC•$sin\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinθ•\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinθsin（\frac{π}{3}-θ）$…（12分）
=$sin2θ+\frac{{\sqrt{3}}}{3}cos2θ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（14分）
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，S（θ）取得最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（16分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想，属于中档题．