已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}.0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}.\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$.若函数g(x)=ax-$\frac{a}{2}$+3.若对?x1∈[0.1].总?x2∈[0.$\frac{1}{2}$].使得f(x1)=g(x2)成立.则实数a的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，若函数g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0），若对?x₁∈[0，1]，总?x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．

（-∞，6]

B．

[6，+∞）

C．

（-∞，-4]

D．

[-4，+∞）

分析函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，当$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）∈$[0，\frac{1}{6}]$.$\frac{1}{2}＜x≤1$时，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，利用导数研究函数的单调性可得：f（x）∈$（\frac{1}{6}，1]$．可得?x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[0，1]．由于函数g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，由于对?x₁∈[0，1]，总?x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得[0，1]∈{g（x）|x∈$[0，\frac{1}{2}]$}，即可得出．

解答解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，当$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）∈$[0，\frac{1}{6}]$．
$\frac{1}{2}＜x≤1$时，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，f′（x）=$\frac{6{x}^{2}（x+1）-2{x}^{3}}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}（2x+3）}{（x+1）^{2}}$＞0，∴函数f（x）在$（\frac{1}{2}，1]$上单调递增，∴f（x）∈$（\frac{1}{6}，1]$．
∴?x₁∈[0，1]，∴f（x₁）∈[0，1]．
由于函数g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，
若对?x₁∈[0，1]，总?x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∈{g（x）|x∈$[0，\frac{1}{2}]$}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=3-\frac{1}{2}a≤0}\\{g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+3≥1}\end{array}\right.$，解得a≥6．
故选：B．

点评本题考查了函数的单调性与值域、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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