Question

4．已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{S_n}-n}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前8项和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n} 的公差为d，由a₅+a₇=26，得a₆=13，又a₆-a₃=3d=6，解得d=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=7+2（n-3）=2n+1．
∴以${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}×n=\frac{3+2n+1}{2}×n={n^2}+2n$．
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{1}{{{S_n}-n}}$，得${b_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
设{b_n} 的前n 项和为T_n，则${T_8}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{8}-\frac{1}{9}）=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$．
故数列{b_n} 的前8项和为$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．