Question

15．（1）已知在极坐标系中，直线l过点（2，0）、倾斜角为$\frac{π}{6}$，求$M（2，\frac{π}{3}）$到直线l的距离；
（2）已知直线和椭圆的参数方程分别是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+t\\ y=\frac{1}{2}-t\end{array}$（t∈R，t为参数），$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}$（θ为参数），判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由，若相交求出相交弦长．

Answer 1

分析 （1）求出点M和直线l的普通方程，利用点到直线的距离公式计算；
（2）求出直线的标准参数方程，代入椭圆的普通方程，根据判别式位置关系，利用参数的几何意义求出弦长．

解答 解：（1）直线l的普通方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），即$\sqrt{3}$x-3y-2$\sqrt{3}$=0．
点M的直角坐标为M（1，$\sqrt{3}$）．
∴点M到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$．
（2）椭圆的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
直线的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
把直线的参数方程代入椭圆的普通方程得14t²+2$\sqrt{2}$t-41=0．
∵△=8+14×41×4＞0，∴直线与椭圆相交．
设方程的两根为t₁，t₂，则t₁+t₂=-$\frac{\sqrt{2}}{7}$，t₁t₂=-$\frac{41}{14}$．
∴相交弦长为|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{2}{49}+\frac{82}{7}}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的转化，直线与椭圆的位置关系，直线参数方程的应用，属于中档题．